Nuputamisülesanne: aedviljade kõrgem matemaatika

Võtame ühe tomati. Lõikame selle võrdse paksusega viiludeks. Enne võileiva peale panekut uurime neid viile natuke. Oletame lihtsuse mõttes, et tomat on täiesti ümmargune ja koor on väga õhuke. Millisest kohast lõigatud viilu koore pindala on kõige suurem?

Kui see ülesanne tundub liiga lihtne, siis võib ette võtta suurema suutäie — arbuusi. Oletame, et arbuus on täiesti ümmargune ja tal on ühtlase paksusega koor. Lõikame selle ühtlase paksusega viiludeks nii, et viilu paksus on suurem koore paksusest. Missuguse viilu koore ruumala on suurem?

Vihjeks ütleme, et mõlemale küsimusele on olemas konkreetne vastus (kontrolliks: $S = \pi d h, V = \pi h t [d - t]$ ). Tomateid uurides leidsime aga, et mõned olid lopergused ja mõned lapikud. Kartulid osutusid aga päris lopergusteks. Keerulisem küsimus, mille vastust me ei tea, aga võib-olla keegi oskab pakkuda on selline. Oletades, et aedvili on modelleeritav ellipsoidina ja viilud on lõigatud ühe teljega risti, missugusest kohast lõigatud viilul on kõige suurem koore pindala?

Jaga:

2 Responses to “Nuputamisülesanne: aedviljade kõrgem matemaatika”

Feed for this Entry

Sven
August 13, 2011 at 13:33

Ellipsoidi ja sfääri küsimuse vastus on suhteline arvutamine, mis oleneb konkreetsetest arvudest kolme ruumielemendi ja lõikude arvu suhtest. Mis määrab ära kindlalt, milline osa kujunditest jääb suurimaks. Loogika järgi ütleksin selleks piirkonnaks ekvaatori e. keskkohta puudutava (tomati) lõigu. Põhjuseks on näiteks ellipsoidi puhul, risti lõikamine võrdsetel alustel pikimat telge mööda tähendab selle pikkusega võrdset või ligilähedast jagamist. Muutes tippude piirkonna lõikude pindala väiksemaks ekvaatori piirkonna pindalast täpselt lõikude arvust tulenevalt. Võib öelda, et lõigud arv, mis on võrdne poole pikkima telje pikkusega, kaldub muutma suumima pindalaga piirkonda tippude kasuks.
Kui lõikudeks jagunemine aga toimub lühema telhjega risti tuleb muuta kogu arutlus vastupidiseks. Ehk suurimaks piirkonnaks on tipud, mis jagunemise arvu vähenedes või telje pikkust ületades (ehk muutes tüki paksuse väiksemaks) suurendavad ekvaatori pindala suurust.

Kõige lihtsamaks pindala kontrollimiseks on näiteks PC puudumisel tomatist tasapinnaliste kujundite tekitamine lõikude abil ja nende alusel suhtelise arvu määramine.

Seega tomatile pakuksin tipud ja arbuusile ekvaatori.
Toomas & Marit
August 14, 2011 at 13:01

Nagu vihjes ütlesime, on mõlemale küsimusele olemas konkreetne vastus. Õige vastus on see, et mõlemal juhul on viiludel võrdselt koort.

Siin on lahendus: kujutame tomatit kerana raadiusega r ja keskpunktiga (0,0,0). Ütleme, et viilutamine toimub z teljega risti. Tomati läbilõige kõrgusel z on ring pindalaga $\pi(r^2 - z^2)$ . Üks suvaline viil paksusega h algab siis z telje kõrguselt p ja lõpeb kõrgusel p+h. Selle viilu ruumala on arvutatav läbilõigete pindalade summana ehk integraalina $V = \int_{p}^{p+h} \pi (r^2 - z^2) dz$ . Koore pindala on nüüd lihtsalt selle ruumala tuletis r järgi. Miks? Teine võimalus ruumala arvutamiseks on võtta hästi palju erineva raadiusega tomateid ja võtta igast sama koha pealt üks viil. Kui me nende viilude koored üksteise sisse paneme, täidame sama ruumi.
$S = \frac{\partial V}{\partial r} = \int_{p}^{p h} 2 \pi r dz = 2 \pi r h$ . Saime, et pindala ei sõltu lõike asukohast p. Võtame nüüd arbuusi, koore paksusega t < h. Koore ruumala on arvutatav ülaltoodud koore pindala valemi integraalina. Pindala ei sõltu positsioonist, seega ei sõltu positsioonist ka integraal. Formaalselt $V_t \int_{r-t}^r 2 \pi x h dx = \pi h [r^2-(r-t)^2] = \pi h t [2r-t]$

See arutelu kehtib ainult täiesti ümmarguste objektide korral. Ellipsoidi pindala on keerulisem arvutada kui kera oma, nii on arvutused keerukamad ja tulemus jääb sõltuma lõike asukohast. Tegemata arvutusi läbi pakuks, et pikliku aedvilja puhul on ekvaatori juurest tehtud lõiked suurema koore pindalaga ja lapiku puhul väiksema. Võib-olla oskab keegi väidet tõestada või ümber lükata? P.S. Taskukalkulaatori, PC ja Wikipedia kasutamine on lubatud.