Mikrookonoomika suvakursus + Mikrookonoomika doktorikursus

Mikroökonoomika süvakursus + Mikroökonoomika doktorikursus

Oksjoniteooria ja mehhanismidisain
Loeng nr 22
Marit Hinnosaar & Toomas Hinnosaar

Versioon: May 3, 2006

1 Sissejuhatus
2 Sõltumatute privaatväärtustega oksjon
2.1 1. hinna salajaste pakkumistega oksjon
2.2 Hollandi oksjon
2.3 2. hinna salajaste pakkumistega oksjon
2.4 Inglise oksjon
2.5 Tulu
3 Märkused

1 Sissejuhatus

Mehhanismidisain

Mehhanismidisain tegeleb küsimusega: kuidas printsipaal peaks disainima mehhanismi, mis annab talle soovitud tulemuse.
Vaatame olukorda, kus printsipaalil on vähem informatsiooni kui agentidel. Kuidas panna neid, kel on rohkem informatsiooni seda avaldama mehhanismi loojale. Kuidas panna teisi käituma nii nagu mehhanismi looja soovib.
Siin vaatame mehhanismi disainimist oksjoni näitel.

Oksjonid Mida müüakse oksjonil?

Riigihanked, allhanked
Erastamine
Vara müük kohtuotsuse alusel
Reostuskvoodid
Väärtpaberid
Lilleoksjonid Hollandis (hollandi oksjon)
Kunst, antiik, raamatud, veinid, igasugused kogutavad esemed, kasutatud esemed. Tihti on oksjoni vormis: elektrimüük, kalaturud.

Tuntuimad oksjonimajad ja elektroonilised oksjonikohad:

Christie’s, Sotheby’s oksjonimajad
eBay (inglise oksjon), Eestis Osta.ee (inglise oksjon)

4 standardset oksjonitüüpi

Inglise oksjon
Hollandi oksjon
Esimese hinna salajaste pakkumistega oksjon (first-price sealed-bid auction)
Teise hinna salajaste pakkumistega oksjon (second-price sealed-bid auction) ehk Vickrey auction

Vickrey - Nobeli preemia 1996

Küsimused, millele vastust otsime:

Missugune nendest oksjonitest maksimeerib müüja tulu?
Kas leidub mõni müüja jaoks parem müügimehhanism?

2 Sõltumatute privaatväärtustega oksjon

Sõltumatute privaatväärtustega oksjon Independent private values auction

Sõltumatu - iga ostja privaatinformatsioon (-väärtus) on sõltumatu teise ostja privaatinformatsioonist (-väärtusest);
Privaatväärtus - ühe ostja privaatinformatsioon ei mõjuta teise ostja poolt esemele antud privaatväärtust.

Eeldused Oletame, et oksjonil läheb müüki punane diivan, mida ostjad tahavad osta endale koju ja nad ei mõtle edasimüügi peale.

Eeldused:

1 riskineutraalne müüja.
N riskineutraalset ostjat.
Müüja jaoks on diivani väärtus 0.
Ostja i jaoks on diivani väärtus v_i ∈ $[0,1]$ , jaotusfunktsiooniga F_i(v_i) ja tihedusfunktsiooniga f_i(i)
Diivani väärtused erinevatele ostjatele on üksteisest sõltumatud.
Ostja i teab palju ta diivanit väärtustab (teab v_i-d). Aga ei tea palju teised ostjad diivanit väärtustavad.
Nii ostjad kui ka müüja teab tihedusfunktsiooni f_i iga i = 1,...,n korral.
Kui ostja i, kelle jaoks diivani väärtus on v_i, võidab, siis ta maksab hinna p ja ta tulu (payoff ) on v_i - p.

2.1 1. hinna salajaste pakkumistega oksjon

Pakkumiskäitumine esimese hinna salajaste pakkumistega oksjonil Lihtsuse mõttes eeldame esimese hinna salajaste pakkumistega oksjoni korral lisaks, et ostjad on ex-ante sümmeetrilised st ∀i, f_i(v) = f(v),v ∈ $[0,1]$ .

Vaatame missugune on ostja i optimaalne pakkumine sümmeetrilises tasakaalus.

Tähistame b_i-ga optimaalse pakkumise väärtuse v_i juures.
Ilmselgelt sõltub optimaalne pakkumine väärtusest, seega ostja strateegia on pakkumisfunktsioon b_i : $[0,1]$ → ℝ⁺.
Eeldame, et pakkumisfunktsioon on rangelt kasvav.
Kuna eeldasime, et ostjad on ex-ante sümmeetrilised, siis kirjeldab iga ostja optimaalset pakkumist pakkumisfunktsioon $ˆ b$ : $[0,1]$ → ℝ⁺ tingimusel, et kõigil teistel ostjatel on sama pakkumisfunktsioon.

Optimaalne pakkumine tasakaalus

Olgu ostja i, kelle jaoks diivani väärtus on v, kes teeb pakkumise nagu tema jaoks diivani väärtus tema jaoks oleks r, teades et teiste pakkumisfunktsioon on $ˆb$ .
Paneme tähele, et ostja i saab eseme, kui tema pakkumine on suurim $ˆ b$ (r) > $ˆ b$ (v_j) iga ostja j $⁄=$ i korral. St tõenäosus, et ostja i saab eseme on (F(r))^N-1. Tähistame selle tõenäosuse F^N-1(r)-ga.
Paneme tähele, et ostja maksab ainult siis kui ta saab eseme ja siis maksab oma pakkumise $ˆb$ (r).
Seega oodatav tulu on:
$N- 1 ˆ u(r,v) = F (r)(v- b(r)).$ (9.1)
Pakkumisfunktsiooni definitsiooni kohaselt on ostja jaoks optimaalne pakkumine $ˆb$ (v) st oodatav tulu (9.1) on maksimeeritud kui r = v.
St tasakaalus $du(r,v) -dr--$ $∣r=v$ = 0 ja teist-järku tingimus on rahuldatud.

Sümmeetriline tasakaal esimese hinna salajaste pakkumistega oksjonil Teoreem 9.1

Kui N ostjal on sõltumatud privaatväärtused ühise jaotusega F, siis väärtuse v korral pakkumine

∫ v ˆb(v) = -N-1-1--- xdFN -1(x) F (v) 0

on esimese hinna salajaste pakkumistega oksjoni ainus sümmeetriline Nashi tasakaal.

Saab näidata, et tõepoolest pakkumisfunktsioon on rangelt kasvav.
Et $ˆb$ on rangelt kasvav, siis esimese hinna salajaste pakkumistega oksjon on efektiivne, st diivan läheb ostjale, kelle jaoks diivani väärtus oli suurim.
Bid shading - va üksikud erandid $ˆ b$ (v) < v. Vt näidet.

Bid shading

Example 1.

Olgu väärtused ühtlase jaotusega lõigus $[0,1]$ , siis F(v) = v ja f(v) = 1.
Siis tasakaalus $∫ v ˆb(v) =--1-- xdxN -1 = v - v-. vN- 1 0 N$
St ostja optimaalne pakkumine on väiksem kui asja väärtus tema jaoks.
Mida rohkem ostjaid seda lähemal on pakkumine asja väärtusele.

2.2 Hollandi oksjon

Pakkumiskäitumine hollandi oksjonil

Hollandi oksjonil alustatakse kõrgest hinnast ja järjest alandatakse kuni üks ostja annab märku, et on nõus selle hinna juures ostma.
St ostja peab tegema otsuse, milline on hind, millega anda märku, et on nõus ostma - st milline on tema pakkumine.
See kes on otsustanud anda märku kõrgeima hinna juures, saab eseme ja maksab selle hinna.
Seega oksjon on sarnane esimese hinna salajaste pakkumistega oksjonile.
Tasakaalus optimaalne pakkumine on sama, mis esimese hinna salajaste pakkumistega oksjonil.
Ex-post (ostjate väärtuste realiseerumisel) annavad esimese hinna ja hollandi oksjon sama tulu müüja jaoks.

2.3 2. hinna salajaste pakkumistega oksjon

Pakkumiskäitumine teise hinna salajaste pakkumistega oksjonil

Loobume oma varasemast lihtsustusest, et ostjad on ex-ante sümmeetrilised. St nüüd eeldame, et ostjate väärtused on jaotunud tihedusfunktsioonidega f₁,...,f_N.
Vaatame ostjat i, kelle jaoks diivani väärtus on v_i.
Tähistame teiste N - 1 ostja poolt tehtud kõrgeimat pakkumist B-ga.
Kui i pakkumine on suurem, siis ta võidab ja maksab teise kõrgeima pakkumise, seega B.
i tahab võita, kui tema väärtus on suurem kui hind mida ta maksma peab, v_i > B ja kaotada kui v_i < B, tal on ükskõik kui v_i = B.
Ilmselgelt on iga ostja optimaalne strateegia pakkuda oma väärtus v_i.
Seega võidab ostja, kelle väärtus on suurim ja ta maksab teise suurima väärtuse.

2.4 Inglise oksjon

Pakkumiskäitumine inglise oksjonil

Alustatakse madalast hinnast ja suurendatakse hinda seni kuni ainult üks ostja on selle hinna juures huvitatud.
Optimaalne strateegia on lõpetada pakkumine kui hind jõuab väärtuseni.
Eseme saab ostja kelle jaoks ese on suurima väärtusega ja ta maksab hinna, mis on võrdne teise suurima väärtusega.
Tasakaalus pakkumine on sama, mis teise hinna salajaste pakkumistega oksjonil.
Seega ex-post annavad inglise oksjon ja teise hinna salajaste pakkumistega oksjon müüja jaoks sama tulu.

2.5 Tulu

Tulu erinevatest oksjonitest

Eelnevast teame, et ex-post (ostjate väärtuste realiseerumisel) annavad esimese hinna ja hollandi oksjon sama tulu müüja jaoks.
Ja samuti eelnevast teame, et ex-post annavad teise hinna ja inglise oksjon sama tulu müüja jaoks.
Seega jääb võrrelda vaid esimese ja teise hinna salajaste pakkumistega oksjoneid.
Eeldame, et ostjad on sümmeetrilised (kõigil on tihedusfunktsioon f) ja võrdleme müüja oodatavat tulu esimese hinna oksjonist R_FPA ja müüja oodatavat tulu teise hinna oksjonist R_SPA.

Esimese hinna oksjon ja teise hinna oksjon

Olgu suurim väärtus v ja tähistame suurima väärtuse tihedusfunktsiooni g-ga.
Paneme tähele, et g = NfF^N-1.
Siis $∫ 1 ∫ 1 RF PA = ˆb(v)g(v)dv = N ˆb(v)f (v)FN -1(v)dv 0 0$
Tähistame teise suurima väärtuse tihedusfunktsiooni h-ga.
Paneme tähele, et h = N(N - 1)F^N-2f(1 - F).
Siis $∫ ∫ 1 1 N -2 RSPA = 0 vh(v)dv = N (N - 1) 0 vF (v)f(v)(1- F(v))dv$

Järeldus Vickrey (1961) tulemus

Kui N ostjal on sõltumatud privaatväärtused jaotusfunktsiooniga F, siis kõigi nelja standardse oksjoni (inglise (E), esimese hinna salajaste pakkumistega (FPA), hollandi (D), teise hinna salajaste pakkumistega (SPA)) korral on müüja oodatav tulu võrdne,

RE = RF PA = RSP A = RD.

3 Märkused

Märkused 9.3-9.4 kohta

Olgu printsipaal ehk mehhanismi looja (näiteks diivani müüja) ja agendid (ostjad).
Iga agent edastab sõnumi (näiteks pakkumise).
Mehhanismiks nimetatakse eeskirja, mis seab igale sõnumite komplektile vastavusse: 1) jaotuse, 2) tasu igalt agendilt (või igale agendile). (Nt inglise oksjon.)
Mehhanismi looja peab mehhanismi disainides valima sõnumite hulga ja mehhanismi. (Sõnumite hulga näiteks on pakkumised või tegelikud tüübid...)
Otsene mehhanism (Direct Mechanism): Otseseks mehhanismiks nimetatakse olukorda, kus igal agendi on optimaalne avaldada printsipaalile oma tegelik tüüp (eseme tegelik väärtus ostja jaoks).
Avaldamisprintsiip (Revelation Principle): Iga mehhanismi jaoks leidub sama tulemuse andev otsene mehhanism. Seega piisab optimaalse mehhanismi otsimisel otseste mehhanismide uurimisest.

Optimaalne müügimehhanism

Kas need oksjonid maksimeerivad müüja oodatavat tulu?
Saab näidata, et teatud eeldustel on optimaalseks mehhanismiks teise hinna salajaste pakkumistega (optimaalse) reservatsioonihinnaga oksjon.

Märkused: korreleeritud või ühiste väärtustega oksjonid Milgrom and Weber (1982)

Ühe ostja erainformatsioon mõjutab teise ostja poolt esemele antud väärtust.

Korreleeritud väärtustega oksjonil (correlated values auction, interdependent values auction): Ostjal puudub täpne informatsioon eseme väärtuse kohta. Ta saab eseme väärtuse kohta mingi signaali. Eseme tegelik väärtus tema jaoks sõltub aga kas kõigi või mõne teise ostja privaatinformatsioonist. (Näide: vein)
Ühiste väärtustega oksjon (common values auction): Eseme väärtus kõigi ostjate jaoks on ühesugune. Kui ostjal õnnestub teada saada teise ostja privaatinformatsioon, siis ta saab täpsema hinnangu eseme väärtusele. (Näide: vähempakkumine mingi allhanke töö tegemiseks, maavarade kaevandamine)

Võitja needus (winner’s curse)

Viited

References

Milgrom, P. R., and R. J. Weber (1982): “A Theory of Auctions and Competitive Bidding,” Econometrica, 50(5), 1089–1122.

Vickrey, W. (1961): “Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders,” The Journal of Finance, 16(1), 8–37.