5 Karakteristlik vorrand

5 Karakteristlik võrrand

Käesolev peatükk tugineb Greene (2002) lehekülgedel 825–833.

5.1 Karakteristlikud juured ja vektorid

Olgu meil N × N maatriks A ja järgnev võrdus

Ac = λc.

(1)

Niisugusel kujul leitud avaldises on arv λ maatriksi A omaväärtus (eigenvalue ) ja λ-le vastav c on omavektor (eigenvector ). Selle ülesande võib kirjutada kujul

(A - λI)c = 0.

(2)

Siit näeme, et lahend, kus c $⁄=$ 0 leidub kui

∣A - λI∣ = 0.

(3)

Võrrand (3) on maatriksi A karakteristlik võrrand . Maatriksi omaväärtus λ on selle karakteristliku võrrandi juur ehk karakteristlik juur ja c on karakteristlik vektor .

Determinant $∣A - λI∣$ on polünoom. Kui meil on N ×N maatriks, siis on tegu maksimaalselt N-ndat järku polünoomiga. Varasemast peaksime teadma, et N-ndat järku polünoomil on kuni N erinevat juurt. Seega on N × N maatriksil maksimaalselt N erinevat omaväärtust.

Järgnevalt lahendame karakteristliku võrrandi ja leiame omaväärtused. Asendame λ tagasi võrrandisse (2) ja saame sealt iga omaväärtuse jaoks ühe omavektori. Kui c on λ korral maatriksi omavektoriks, siis on selleks ka kc, kus k on mingi suvaline konstant. Et kõikidest niisugustest üks välja valida, kasutatakse normaliseerimist (nii et c’ c = 1, vt järgnevat näidet).

Näide 6 Olgu

[ ] A = 3 4 , 2 5

siis

[3 - λ 4 ] ∣A - λI∣ = 2 5- λ = (3 - λ)(5- λ) - 2⋅4 = λ2 - 8λ+ 7.

Nüüd me saame leida λ-d lahendades võrrandi

λ2 - 8λ+ 7 = 0.

Saame, et λ₁ = 1 ja λ₂ = 7. Et leida c kasutame normaliseerimist, nii et omavektori elementide ruutude summa võrdub ühega: c₁² + c₂² = 1.

Nüüd leiame c₁, kui λ₁ = 1:

Siis λ₁ = 1 vastava omavektori saame järgnevalt

([ ] [ ])[ ] [ ][ ] [ ] 3 4 - 1 1 0 c1 = 2 4 c1 = 2c1 + 4c2 = 0, 2 5 0 1 c2 2 4 c2 2c1 + 4c2

kust saame, et c₁ = -2c₂. Lisades sellele normaliseerimistingimuse, saame c₁ = ± $∘ 1- 5$ . Et me otsime ainult ühte omavektorit, võtame positiivse, siis c₂ = -2c₁ = - $∘ -- 4 5$ . Kokkuvõttes saime, et

[ ∘-- ∘ --] c′ = 1 - 4 1 5 5

Kui λ₂ = 7, siis c₂′ = $[ ∘ -- ∘ --] 12 12$ . ∙

Harjutusülesanne 5.1 Kontrollida, et eelnevas näites λ₂-le vastav omavektor tõesti niisugune tuleb.

5.2 Maatriksi spektraalne dekomponeerimine

Iga omaväärtuse kohta saime me ühe omavektori. Seega me saame N omavektorit ja moodustame saadud omavektoritest c_i, i = 1,...,N, karakteristliku maatriksi C:

C = [c1 ... cN ],

ning omaväärtustest moodustame omaväärtuste maatriksi Λ, mis on diagonaalmaatriks,

⌊ ⌋ λ1 0 ... 0 || 0 λ2 ... 0 || Λ = |⌈ 0 ... ... 0 |⌉ . 0 ... 0 λ N

Siis me saame maatriksi A leida võrrandist

AC = CΛ =⇒ A = C ΛC -1.

See on maatriksi A spektraalne dekompositsioon .

Kui A on sümmeetriline, siis on karakteristlik maatriks ortogonaalne⁷ , st C′C = I. Millest saame kasuliku tulemuse, et C′ = C^-1. Siis

A = C ΛC- 1 = C ΛC′.

Näide 7 Vaatame näidet kus A on sümmeetriline maatriks:

[2 1 ] A = 1 2 .

Koduses ülesandes avaneb võimalus kontrollida, et, et λ₁ = 1 ja λ₂ = 3 ning

⌊ ∘ 1- ⌋ ⌊ ∘ 1-⌋ c = ⌈ ∘2- ⌉ ja c = ⌈ ∘ 2-⌉. 1 - 1 2 1 2 2

Siis karakteristlik maatriks C on kujul

-- -- ⌊ ∘ 1 ∘ 1 ⌋ C = ⌈ ∘2-- ∘ 2-⌉ - 12 12

ja omaväärtuste maatriks Λ on

[ ] Λ = 1 0 . 0 3

Maatriksi A spektraalne dekompositsioon on

⌊ ∘ -- ∘ --⌋ ⌊ ∘ -- ∘ --⌋′ ⌊ ∘ -- ∘ --⌋ ⌊ ∘ -- ∘ --⌋ 12 12 [1 0 ] 12 12 12 3 12 12 - 12 ⌈ ∘ 1- ∘ 1-⌉ 0 3 ⌈ ∘ 1- ∘ 1-⌉ = ⌈ ∘ 1- ∘ 1-⌉ ⌈ ∘ 1- ∘-1 ⌉ = - 2 2 - 2 2 - 2 3 2 2 2

[ 1 + 3⋅ 1 - 1+ 3⋅ 1 ] [2 1 ] = -21 +3 2⋅ 1 12+ 3 ⋅2 1 = 1 2 = A 2 2 2 2

∙

5.3 Maatriksi jälg

Maatriksi jälg on tema peadiagonaali elementide summa. Maatriksi jälg inglise keelses kirjanduses tähistatatakse Tr või trace, siis me kirjutame maatriksi A jälje kohta Tr(A) või trace(A).

Näide 8 Olgu maatriks

⌊ 1 2 3 ⌋ A = ⌈ 4 5 6 ⌉ , 7 8 9

siis selle maatriksi jälg on 1 + 5 + 9 = 15. ∙

Kasulikud reeglid jälje kohta:

Tr(A) = Tr(A′),
Tr(A-B) = Tr(A) - Tr(B),
Tr(AB) = Tr(BA),

Harjutusülesanne 5.2 Näita kuidas leida maatriksi M jälg.

M = (In - P),

kus P = X(X′X)^-1X′ ja X on n × K maatriks.

Vastus harjutusülesandele 5.2 Tr(M) = n - K.

5.4 Kasulikud reeglid omaväärtuste kohta

Maatriksi A omaväärtuste summa on võrdne maatriksi jäljega.
Maatriksi A omaväärtuste korrutis on võrdne maatriksi determinandiga.
Sümmeetrilise maatriksi A nullist erinevate omaväärtuste arv on võrdne maatriksi astakuga.
Kui kõik sümmeetrilise maatriksi A omaväärtused on positiivsed (negatiivsed), siis on A positiivselt (negatiivselt) määratud. Kui mõni mõni omaväärtus võrdub nulliga ja ülejäänud omaväärtused on positiivsed (negatiivsed), siis on A positiivselt (negatiivselt) poolmääratud.

Näide 9 Kontrollime neid kirja pandud reegleid juba näitest 6 tuntud maatriksi varal. Maatriks A on

[3 4 ] A = 2 5

ja omaväärtused λ₁ = 1 ja λ₂ = 7. Siis:

Maatriksi A omaväärtuste summa on võrdne maatriksi jäljega. $λ1 + λ2 = 1+ 7 = 8 = 3 +5 = trace(A).$
Maatriksi A omaväärtuste korrutis on võrdne maatriksi determinandiga. $λ1λ2 = 1 ⋅7 = 7 = 3 ⋅5- 2⋅4 = ∣A ∣.$
Maatriksi A nullist erinevate omaväärtuste arv on võrdne maatriksi astakuga. Vaadeldava näite korral λ₁ $⁄=$ 0 $⁄=$ λ₂ ja astak on 2.

5.5 Maatriksite astendamine

Maatriksi ruutu ei tundu väga keeruline leida, lihtsalt korrutame AA = A². Aga kuidas leida A^1∕2? Seda saab teha karakteristlike juurte ja vektorite abil.

Olgu meil sümmeetriline maatriks A. Alustame kõigepealt A ruudust⁸

AA = A2 = (C ΛC ′)(C ΛC′) = C ΛIΛC ′ = C Λ2C′,

kus

⌊ 2 ⌋ λ1 02 ... 0 2 || 0 λ2 ... 0 || Λ = |⌈ 0 ... ... 0 |⌉ . 0 ... 0 λ2 N

Seega iga sümmeetrilise maatriksi A korral, A² karakteristrlikud juured on A karakteristlike juurte ruudud ja karakteristlikud vektorid on samad.

See tulemus laieneb iga positiivse täisarvulise astme kohta. Kokkuleppeliselt A⁰ = I. Seega iga sümmeetrilise maatriksi A korral: A^K = CΛ^KC′, K = 0,1,.... Kui A on lisaks veel mittesingulaarne, siis see kehtib ka K negatiivsete täisarvuliste väärtuste korral.

Vaatame nüüd reaalarvulisi astmeid. Arvude korral peab ruutjuur olema positiivne. Sama kehtib ka maatriksite korral: nimelt A^1∕2 peab olema positiivselt poolmääratud maatriks ehk maatriksi A^1∕2 iga karakteristlik juur peab olema mittenegatiivne. Siis