Kontrolltoo

Kontrolltöö

Makroökonoomika süvakursus + Makroökonoomika doktorikursus

4. aprill 2006

Kontrolltöö kirjutamiseks on aega 4 akadeemilist (ehk 3 astronoomilist) tundi. Lubatud on kasutada kõikvõimalikke paberkandjal materjale. Keelatud on kasutada kommunikatsioonivahendeid ja kaasüliõpilaste abi. Iga küsimuse eest saab maksimaalselt selle arvu punkte, mis küsimuse juures sulgudes. Edu!

Ülesanne 1 (Kokku: 25 punkti)
Oletame, et Euroopa Liidu vanades liikmesriikides (EL) ja Eesti (E) majandusi kirjeldab Solow mudel, kus tootmisfunktsioon on Cobbi-Douglase kujul. Eeldame, et EL-s ja Eestis on järgmiste parameetrite väärtused võrdsed: säästumäär (s), rahvastikukasvumäär (n), tehnoloogiline progress (g), amortisatsioonimäär (δ), Cobbi-Douglase tootmisfunktsioonis kapitali osakaal (α). (Sellist eeldust on kasutatud mitmes Eesti majandust kirjeldavas makromudelis.)

Aastal 2004 oli EL-is kogutoodang elaniku (Y∕L) kohta 2 korda suurem kui Eestis.

(10 punkti) Juhul kui nii Eesti kui ka Euroopa Liit olid aastal 2004 tasakaaluseisundis, siis millest oli tingitud erinevus kogutoodangus elaniku (Y∕L) kohta? Näidata kui suur osa sellest erinevusest oli tingitud erinevusest tehnoloogias.
(10 punkti) Oletame, et Euroopa Liit oli 2004. aastal tasakaaluseisundis, aga Eesti ei olnud. Lisaks oletame, et tehnoloogia tase Eestis ja Euroopa Liidus oli võrdne (A_EL = A_E) ja et Cobbi-Douglase tootmisfunktsioonis kapitali osakaal oli (nii EL-is kui ka Eestis) α = 1∕3. Näidata, et on ebarealistlik eeldada, et puudusid erinevused tehnoloogia tasemes.
[Vihje: On teada, et 2004. a oli erinevus interessimääras väike, kindlasti kehtis $rrEEL$ < 4.]
(5 punkti) On levinud arvamus, et Eesti majandus konvergeerub tasakaaluseisundisse, kus kogutoodang elaniku (Y∕L) kohta on võrdne ELi vastava näitajaga. Oletame jätkuvalt, et ELi ja Eesti majandusi kirjeldab Solow mudel ja et EL on oma tasakaaluseisundis, aga Eesti ei ole praegu veel oma tasakaaluseisundis. Selgitada (kuni 5 lausega) a) millistel eeldustel konvergeerub kogutoodang efektiivse tööjõu ühiku kohta (Y∕(AL)) EL-i vastavaks näitajaks; b) mida peaks lisaks eeldama, et konvergeeruks ka kogutoodang elaniku (Y∕L)?

Ülesanne 2 (Kokku: 30 punkti)
Vaatame learning-by-doing mudelit. Olgu tootmisfunktsioon

Y (t) = K(t)α(A(t)L(t))1-α, 0 < α < 1

(2.1)

ja tehnoloogia akumuleerub järgmiselt

A(t) = B K(t), B > 0. L(t)

(2.2)

Eeldame, et amortisatsiooni ei ole ja kapital kasvab eksogeense säästmismäära s kohaselt nii et

K˙(t) = sY (t), s > 0.

(2.3)

Eeldame, et rahvaarv on konstantne, L(t) = L > 0.

(5 punkti) Selgitada (kuni 5 lausega) selle learning-by-doing mudeli ja täpsemalt tehnoloogia akumuleerumise võrrandi ideed (võib tuua näite sellisest tootmisprotsessist).
(5 punkti) Avaldada Ȧ funktsioonina $K˙$ -st. Leida g_K = $˙ KK((t)t)-$ ja g_A = $˙ AA(t(t))$ .
(10 punkti) Leida ġ_A ja ġ_K. Joonistada faasidiagramm. Kas majandus konvergeerub tasakaalu? Kui jah, siis millised on tehnoloogiataseme, kapitali ja toodangu kasvumäärad (g_A, g_K ja g_Y) tasakaalus?
[Vihje: $gg˙AA$ , $˙ggKK$ ja g_Y leidmiseks võib olla mugav kasutada logaritmi tuletist.]
(5 punkti) Selgitada (kuni 5 lausega) mis on Solow, Ramsey ja OLG mudelite peamine probleem võrreldes endogeense kasvu mudelitega.
(5 punkti) Oletame, et learning-by-doing mudelis on säästmine endogeenne. Selgitada (kuni 5 lausega), miks siis peaks valitsus subsideerima investeeringuid.

Ülesanne 3 (Kokku: 35 punkti)
Vaatame maksusid sisaldavat Ramsey mudelit. Et matemaatiliste teisendustega oleks lihtsam hakkama saada, eeldame, et rahvastiku kasvu ja tehnoloogilist progressi ei ole st n = 0 ja g = 0, ning et kapital ei amortiseeru, δ = 0. Eeldame, et igas leibkonnas on 1 inimene, L∕H = 1, ja normaliseerime rahvastiku hulga üheks, L = 1, ning normaliseerime tehnoloogiakoguse üheks, A = 1. Eeldame, et igal perioodil majapidamine rendib kogu kapitali mis tal on firmadele ja pakub kogu tööjõu mis tal on firmadele (eelduse kohaselt on majapidamisel 1 ühik tööjõudu).

Seega leibkonna eluaegne kasulikkus on

∫ ∞ -ρt c(t)1-θ- U = 0 e u(c(t))dt, kus u(c(t)) = 1 - θ

(3.1)

ja kus ρ > 0 on diskonteerimismäär ja θ > 0 on perioodidevaheline asenduselastus.

Eeldame, et maksumäär kapitalitulul on τ_K ja tööjõutulul τ_L. Eeldame, et kogu maksutulu jagatakse toetuse T kujul indiviididele tagasi ja valitsus ise ei kuluta midagi, G = 0. Et kogu maksutulu läheb toetuseks, siis

T (t) = τLw(t)+ τKr(t)k(t).

(3.2)

Et leibkondade kulutused (tarbimine ja investeeringud) peavad olema võrdsed kogutoodanguga, siis leibkonna eelarvepiirang on antud kujul

f(k) = (1- τL)w(t)+ (1 - τK)r(t)k(t)+ T (t)

(3.3)

ja kapitali akumulatsioonivõrrand on

˙k(t) = f(k(t))- c(t).

(3.4)

Majapidamine maksimeerib (3.1) tingimusel (3.3) ja (3.4). Majapidamise seisukohalt w(t), r(t), T(t), τ_K ja τ_L on fikseeritud suurused. Ja lisaks peab olema rahuldatud no-Ponzi-game tingimus

∫t tl→im∞e- 0(1-τK)r(v)dvk(t) = 0.

(3.5)

Nii tooteturul kui ka teguriturul on täiuslik konkurents. Eeldame Cobbi-Douglas kujul tootmisfunktsiooni ja seega toodang y avaldub kujul:

α y(t) = f(k(t)) = k(t) , 0 < α < 1.

(3.6)

(5 punkti) Kirjutada välja leibkonna optimeerimisülesanne (sihifunktsioon, kontrollmuutuja, seisundimuutuja muutumisvõrrand ja no-Ponzi-game tingimus).
(5 punkti) Kirjutada välja Hamiltoni funktsioon ja tarvilikud tingimused optimumi jaoks.
(5 punkti) Leida Euleri võrrand. Kas ja kuidas sõltub tarbimise kasvumäär maksumääradest τ_K ja τ_L? Tõlgendada.
(5 punkti) Kirjutada välja tarbimise ja kapitali dünaamikat kirjeldav võrrandisüsteem (Euleri võrrand ja ressursipiirang), nii et see sõltub ainult muutujatest c, k, ċ, $˙k$ ja parameetritest α, ρ, θ, τ_K ja τ_L.
(5 punkti) Leida kapitalikogus tasakaaluseisundis (kus ċ = 0 ja $k˙$ = 0). Kuidas mõjutab τ_K tasakaalu kapitalikogust? Tõlgendada.
(5 punkti) Oletame, et selline mudel kirjeldab Eesti majandust ja oletame, et valitsus tahab ümberjaotuse eesmärgil maksude abil fikseeritud summa raha koguda. Kirjeldada ja põhjendada (kuni 5 lausega) millised maksumäärad τ_K ja τ_L oleks mõistlik kehtestada.
(5 punkti) Oletame, et majandus on tasakaalus ja ühel hetkel t täiesti ootamatult valitsus otsustab, et nüüdsest alates ei maksta kogu maksutulu indiviididele toetuste näol tagasi, vaid kulutatakse osa sellest Harju tänava haljasalale (märkus: eeldame, et see haljasala ei mõjuta mingil viisil leibkondade valikuid), nii et G > 0. (Eelduse kohaselt valitsuse kulutused ei suurenda kapitalikogust, st valitsus ei investeeri, vaid lihtsalt kulutab.) Kas uues tasakaaluseisundis on kapitalikogus ja tarbimine suuremad/väiksemad/ei muutu? Põhjendada.
[Vihje: vastata võib olla lihtsam kui mõelda faasidiagrammi peale (k,c)-teljestikus, aga faasidiagrammi ei pea joonistama.]

Ülesanne 4 (Kokku: 10 punkti)
Vaatame Lucase saarekeste mudelit diskreetses ajas, kus rahapakkumine m_t on firmade seisukohalt eksogeenne juhuslik suurus. Kõik muutujad on logaritmitud kujul.

Agregeeritud nõudlus on funktsioon reaalsest rahapakkumisest

yt = mt - pt

(4.1)

kus p_t on hinnatase (keskmine hind) ja y_t on toodang, mis on normaliseeritud nii, et kui m_t = E_t-1(m_t), siis tasakaalus y_t = 0.

Iga firma jaoks on optimaalne määrata selline hind

p* = (1- φ)p + φm , 0 < φ < 1, it t t

(4.2)

Eeldame, et firmadel on ratsionaalsed ootused. Lisaks eeldame, et igal perioodil määravad firmad hinna järgmiseks perioodiks ette. Järgmise perioodi alguses leiab aset mingi rahapakkumise shokk, millele pole võimalik kohe reageerida. Seega määrab iga firma oma hinna ootusena järgmise perioodi optimaalsest hinnast

pit = Et-1p*it.

(4.3)

(5 punkti) Leida hinnatase p_t ja toodang y_t tasakaalus.
(5 punkti) Kas rahapakkumise oodatud muutustel on mõju toodangule? Kas rahapakkumise ootamatutel muutustel on mõju toodangule? Kas majanduslanguse ajal on võimalik rahapoliitika abil kogutoodangut suurendada? Selgitada.